序列模式: 等差、等比、遞迴數列

基礎使用等差數列

1. 點選主螢幕 Sequences
2. 新增一個序列，$U_n=2n+1$
3. 點選 Plot graph 就能會出圖形。
   
4. 選擇 Display values，就可以查看序列數值表。
   

等比數列

計算 2 的指數

費波那契數列（遞迴）

費波那契數列是一個很有趣的數學序列，聽起來很專業，但其實概念很簡單。

規則就是：從 0 和 1 開始，後面每個數字都是前面兩個數字加起來。例如：0、1、1、2、3、5、8、13、21……就這樣一直往下延伸。

你可以把它想成「兔子繁殖」的故事：第一個月有一對小兔子，第二個月牠們長大了，第三個月開始繁殖，之後每個月都會再生下一對小兔子。這樣一來，兔子的數量變化就會符合費波那契數列的規律。

費波那契數列常常出現在大自然中，例如向日葵的花瓣排列、松果的螺旋紋路，甚至是貝殼的螺旋形狀。很多人會發現這些自然界的圖案，和數列背後的「黃金比例」有關。

簡單來說，費波那契數列就是一種「由簡單規則累積出複雜結果」的數學例子。它不只是一串數字，而是提醒我們：很多看似隨機或漂亮的自然現象，其實背後都藏著規律。

我們可以用底下的式子來定義這樣的遞迴數列:

$U_0=0，U_1=1,U_{n+2}=U_{n+1} + U_n$

設定項次從0開始

收斂數列

• 古代巴比倫人（大約西元前 1800 年）就會用一種「平均法」來逼近平方根。他們的做法是：先猜一個數字 $x$，然後算出 $2/x$，再跟 $x$ 取平均，也就是 $$\frac{x+\frac{2}{x}}{2}$$

• 了 17 世紀，牛頓和萊布尼茲提出了「牛頓迭代法（Newton’s method）」，用一套統一的數學方式解釋：如果要解一個方程式 $f(x)=0$，就可以用切線逼近的方式逐步修正解答。對 $\sqrt{2}$ 來說，就是解 $f(x)=x^2-2=0$。

計算 $\sqrt{2}$ 的牛頓迭代法

$U_0=1, U_{n+1} = \frac{U_n}{2}+\frac{1}{U_n}$